Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja mit dem Kapitel über Existenz und Eindeutigkeit

von Lösungen begonnen. Wir hatten schon den Existenzsatz von Pejano formuliert. Da hat

man nur die Voraussetzung, dass die Funktion f, die die rechte Seite der Differentialgleichung,

bildet, stetig ist. Und dann weiß man, es existiert eine Lösung des Anfangswertproblems

auf einem gewissen Intervall. Das Intervall kann man sogar direkt aus dem Problemdaten

ausrechnen. Allerdings sagt der Satz von Pejano nichts über die Eindeutigkeit der Lösung aus.

Ich wiederhole nochmal diesen Satz von Pejano. Das Ganze spielt auf einem Rechteck R mit

Mittelpunkt x0, y0. x0, y0 legt die Anfangsbedingung fest. y an der Stelle x0 soll gleich y0 sein.

Das Rechteck R kann man schreiben als das charathesische Produkt aus den Intervallen x0-a,

x0 plus a Kreuz y0 minus b bis y0 plus b. In der letzten Vorlesung hatten wir dieses

Rechteck anders beschrieben unter Verwendung der Betragsfunktion. Der Betrag von x minus x0 ist

ja dann kleiner gleich a und der Betrag von y minus y0 ist kleiner gleich b. Aber so kann man

das Rechteck auch darstellen. Auf diesem Rechteck ist dann die Funktion f definiert. Die geht also

von diesem Rechteck in die reellen Zahlen und f soll stetig sein. Und dann kann man mit dem f und

diesem Rechteck eine Zahl ausrechnen, nämlich die Zahl groß m. Das ist das Maximum des Betrages der

Funktionswerte auf diesem Rechteck. Es sei also groß m das Maximum über alle Punkte x, y aus diesem

Rechteck R des Betrags von f an der Stelle x, y. Und das kann man nach oben abschätzen. Und damit

kann man dann eine Zahl alpha ausrechnen. Alpha ist das Minimum aus a und b dividiert durch groß m.

Wenn man dieses Maximum nicht exakt ausrechnet, das wird man in den meisten Fällen nicht machen,

sondern nur nach oben abschätzt, also eine Oberschranke für m nimmt, dann verkleinert man

hier diesen Wert für alpha. Das macht also nichts, die Aussage ist dann trotzdem noch

brauchbar. Die Aussage ist nämlich auf dem Intervall von x0 minus alpha bis x0 plus alpha

hat man dann eine Lösungskurve, eine Lösung der Differentialgleichung. Die Lösungskurve male ich

mal in das Rechteck ein. Man weiß also, die geht von x0 minus alpha bis x0 plus alpha. Die gibt es,

die muss nicht unbedingt eindeutig sein hier. Dann hat das Anfangswertproblem, das war ja y'

ist gleich f von x und y und y an der Stelle x0 gleich y0. Das haben wir auch das Anfangswert 1

genannt, eine Lösung auf dem abgeschlossenen Intervall von x0 minus alpha bis x0 plus alpha.

Je genauer man dieses Maximum hier von f tatsächlich ausrechnet, desto größer wird dann das

Existenzintervall. Also wenn man dieses Maximum stark überschätzt, dann wird das Existenzintervall

entsprechend verkleinert. Tatsächlich sieht man, dass die Größe dieses Intervalls immer von dem

m abhängt. Das sagt uns Folgendes, wenn die Werte für y' sehr groß werden können, das heißt ja,

dass das m sehr groß wird, dann wird eben dieses Existenzintervall möglicherweise sehr kurz.

Bemerkung, falls dieses Maximum groß m sehr groß ist, das heißt für y' können dann auch

sehr große Werte auftreten. Dann kann die Ableitung y' groß werden. Die Lösungskurve kann also sehr

steil nach oben gehen. Dann ist das alpha und somit das Existenzintervall klein. Stellen Sie

sich vor, die Lösung ist y von x gleich 1 durch x. 1 durch x hat ja so eine Singularität in der

Null. Also wenn das Ihre Lösungskurve wäre, 1 durch x, dann hätten Sie, wenn Ihr Punkt,

den die Anfangsbedingungen festlegt, hier liegt, nach links nicht sehr viel Spielraum für die

Existenz der Lösung, weil die Lösung da eben sehr steil nach oben geht. Die geht ja dann gegen

unendlich, gegen die y-Achse als Asymptote. Deshalb existiert dann die Lösung nur bis zur Null

höchstens. Also wenn Sie ein abgeschlossenes Intervall haben wollen, dann geht das bei irgendeinem

epsilon größer Null hier los. Und das heißt, das alpha muss dann auch entsprechend klein sein,

damit die Null auf keinen Fall in diesem Intervall drin liegt. Wir betrachten mal ein Beispiel, wo wir

den Satz von Peano anwenden können. Wir hatten ja in der Einleitung zu dem Kapitel über Existenz und

Eindeutigkeit ein Beispiel für ein Anfangswertproblem, wo die Lösung nicht eindeutig ist. Und jetzt

schauen wir nach, wie wir auf dieses Problem den Satz von Peano anwenden können. Das Beispiel,

was wir hier hatten, war y-Strich ist gleich 3 mal y hoch zwei Drittel, also y-Quadrat hoch ein

Drittel schreibe ich, damit wir da keinen Betrag brauchen. Das ist unser f von x und y. Die einzige

Voraussetzung an das f ist ja die Stetigkeit. Und diese Funktion ist stetig auf der ganzen